Peut-on compter jusqu’à l’infini ?

Attention, si vous ne supportez pas les grands nombres, changez de page ! Car ceux qui suivent sont… faramineux !

Quand vous étiez petit, on vous a appris à compter sur vos doigts : un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf et dix. Souvent, grâce à des comptines, vous avez pu découvrir onze et douze. Et ensuite, vous avez fait la magnifique découverte que l’on peut compter sans s’arrêter (notamment lors de mémorables parties de cache-cache) !

Il est devenu assez commun de s’intéresser au nombre 0 (l’histoire du zéro est effectivement passionnante), ainsi qu’aux nombres tout petits. Les hommes se passionnent actuellement pour les nanotechnologies, l’étude des cellules, des virus, ou du boson de Higgs (censé être la plus petite particule qui compose la matière). Les gens commencent donc à se « familiariser » avec les échelles de mesure de l’infiniment petit : millisecondes, nanomètres, etc.

Mais qu’en est-il des nombres infiniment grands ?

Nous les appellerons plutôt « très très très » grands, car ces nombres-là sont finis : on peut trouver un nombre encore plus grand facilement, en y rajoutant 1 par exemple. Après tout, vous connaissez déjà certaines puissances de 10 que vous utilisez dans la vie de tous les jours : votre clé USB a une capacité de 280 Mo ? Cela représente 280 mégaoctets, ou encore 280 millions d’octets, ce qui s’écrit en notation scientifique 2,80*10^8 octets. Prenons dix milliards : 10^10. Ce nombre, qui représente 10000000000, correspond par exemple au nombre de joules (unité de mesure d’énergie, symbole J) consommées par une voiture annuellement (voiture américaine moyenne en 2000 d’après Wikipédia). Ainsi, on peut encore écrire 10^10 en chiffres romains. Idem pour 10^30, le nombre de kilogrammes du Soleil.

A partir de 10^100, vous ne pouvez pas l’écrire en moins d’une minute ! A raison d’une seconde et demie par chiffre, vous en avez déjà pour deux minutes et demie…

Le baptème de Google

Mais un mathématicien américain l’a écrit une fois au tableau sous les yeux de son neveu de 9 ans et lui a demandé comment s’appelait ce nombre : « Googol ! », répond le gamin ébahi. Et voilà comment fut baptisé 10^100 !

googol

Quelques années plus tard, deux autres américains, Serguei Brin et Larry Page, décident de nommer leur moteur de recherche « Google », qui se prononce à peu près comme « Googol » avec l’accent américain. Les ambitions du groupe étaient donc déjà grandioses à l’époque.

Vous n’êtes toujours pas impressionné ? Tant mieux, parce que ce n’est pas tout à fait terminé. Et si maintenant on écrivait 10^googol ? Comme le remarque l’astrophysicien Trinh Xuan Thuan dans son livre Désir d’infini, à raison d’un demi centimètre par chiffre, il vous faudrait un papier qui dépasse largement les frontières de l’Univers visible ! Donc mieux vaut utiliser les puissances de 10 et le nom « googol ». D’ailleurs, le nombre 10^googol s’appelle « googolplex ». Et c’est ainsi que se nomme siège de Google aussi, comme par hasard…

googleplex

Pour aller encore plus loin, en 1976, Donald Knuth a introduit un autre système de notation utilisant des flèches appelées à propos « flèches de Knuth ». Si l’on note ici ces flèches par F, aFb donne « a puissance a puissance a puissance a… » b fois !!! On peut ainsi construire ainsi de très grands nombres entiers en utilisant trois ou quatre symboles.

En résumé, l’imagination mathématique de l’Homme n’a qu’une seule limite : l’infini.

 

 

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